Ваш браузер устарел. Рекомендуем обновить его до последней версии.

Расчёт параметров овальных изделий

Когда мы имеем дело с круглыми кадками, всё довольно-таки просто. Действительно, есть диаметры - верхний и нижний, есть высота клёпки, нетрудно посчитать периметр... Остаётся только изготовить шаблон и строгать себе, набирая необходимую суммарную ширину клёпок. А как быть, если наше изделие - овальное? Сколько нужно для его изготовления шаблонов, и каких? Как формируется эта плавная линия, переходящая от малых радиусов в торцах изделия к большим, имеющим сравнительно незначительный изгиб, бокам?

Чтобы разобраться в этом вопросе, давайте начнём с метода, описанного Г. Я. Федотовым в книге «Секреты бондарного ремесла». Вот что предлагает нам автор в главе «Анкерок», посвящённой изготовлению этого переносного плоского бочонка, имеющего в сечении овал.

Геометрический метод расчёта параметров овала по Федотову

Как известно, овал состоит из четырёх сопрягаемых дуг – двух больших и двух малых. Остов словно собран из клёпок большого и маленького бочонка. По сути дела, так оно и есть. Только, разумеется, клёпки двух видов мастер изготовляет специально  - одни как бы для малого бочонка, другие – для большого. Затем, расположив их в определённом порядке, стягивает обручами, получая остов с прижатыми боками и овальным сечением.

Для того, чтобы точно определить, какими должны быть клёпки того и другого вида, сколько их должно входить в набор остова, необходимо выполнить некоторые расчёты. Прежде всего на листе бумаги в натуральную величину вычерчивают овальное сечение остова в самой широкой его части. Циркулем проводят вспомогательную окружность, диаметр которой должен быть равен высоте бочонка. (Под высотой в данном случае Г.Я. Федотов подразумевает большую ось овала – это видно из рисунка). Её центр отмечают двумя взаимно перпендикулярными осевыми линиями. Вертикальную ось делят на пять равных частей. Вокруг точек 1 и 4 проводят две малые окружности, касательные к большой вспомогательной окружности. Через точки пересечения горизонтальной осевой линии со вспомогательной окружностью и центры малых окружностей проводят прямые линии. В местах пересечения этих линий с дугами малых окружностей будут находиться так называемые точки сопряжения. Их соединяют с помощью циркуля большими дугами. Центры этих дуг будут находиться на пересечении горизонтальной осевой линии и большой дуги вспомогательной окружности.

Руководствуясь вычерченным на бумаге овалом, изготовляют два шаблона. Контуры одного из них должны соответствовать малой дуге овала, а другого – большой.

Для того чтобы точно установить, сколько клёпок потребуется для сборки остова бочонка, необходимо определить его периметр. Он будет равен сумме длины больших и малых дуг. Длину каждой дуги находят следующим образом. Сначала определяют периметр полных окружностей, частью которых являются дуги, составляющие овал. Периметры устанавливают по формуле 2πR, где π=3,14. Затем, разделив периметр малой окружности на 3 части, получают длину малой дуги. В свою очередь периметр большой окружности делят на шесть частей и определяют длину большой дуги. Суммарную длину двух дуг удваивают и получают периметр овала.

 

Не правда ли – всё просто? Этот метод действительно работает, и работает безупречно.

Но что, если наше овальное изделие – ванна объёмом литров на 500?

Вычертить её в натуральную величину – задача не из самых лёгких. А ведь таких чертежей нужно два – для верхнего и для нижнего овала.

Масштабирование? Чревато неточностями…

Из геометрии построения, приведённой Г. Я. Федотовым нетрудно вывести формулы, с помощью которых те же величины можно получить, не вычерчивая ничего на бумаге.

Алгебраический метод расчёта параметров овала по Федотову

Несмотря на то, что Геннадий Яковлевич этих формул в книге не приводит, мы всё равно назовём метод его именем, поскольку он верен только для чертежа, приведённого выше, и, по сути, просто его заменяет.

Итак, пусть L – длина овала, l – его ширина, r – радиус малой окружности, R – радиус большой окружности.

1) Находим радиус малой окружности:

r=L/5

2) Находим вспомогательную величину h – расстояние между точкой пересечения осевых линий и центром малой окружности A1:

h=1,5r

3)Находим вспомогательную величину c – расстояние между двумя параллельными прямыми B2A1 и A2B1:

c=[(L/2)2+h2]

4) Находим радиус большой дуги R:

R=c+r

5) Находим вспомогательную величину q – расстояние между точкой B1 (B2) и точкой пересечения большой дуги овала и горизонтальной осевой линии:

q=L-R

6) Находим ширину овала l:

l=L-2q

7) Умножаем на 2 радиусы R и r находим параметры D и d. Это наши диаметры – те, что нужны для изготовления шаблонов.

8) Находим длину малой дуги m:

m=πd/3

9) Находим длину большой дуги M:

M=πD/6

10) И, наконец, находим периметр овала p:

p=2(M+m)

Этот расчёт придётся повторить для нахождения параметров второго овала (низа или верха нашей ванны).

 

При расчёте овала по Федотову нужно иметь в виду некоторые особенности.

Во-первых, мастер может задавать только длину овала L. Его ширина l уже рассчитывается, то есть оказывается жёстко привязана к определённому значению длины. Другими словами, если нам нужно изменить ширину, придётся менять и длину. Это неудобно.

Во-вторых, при расчётах по этому методу получается, что у больших и малых дуг нашего изделия оказывается разная конусность. Так, для ванны в 500 л, которая рассчитана именно таким способом, диаметры больших дуг сверху и снизу равны 204 и 234 см соответственно, а диаметры малых – 52 и 60. Таким образом, при высоте клёпки в 85 см коэффициент конусности для малой дуги равен 0,094, а для большой – 0,353. Для такого овала не работают закономерности, описанные в статье «Конусность бондарного изделия», и надёжность фиксации деревянных обручей на определённой высоте приходится определять опытным путём.

Универсальные формулы для расчётов параметров овала

Однако, оказывается, вертикальную ось овала на нашем чертеже необязательно делить именно на пять частей. Можно и на четыре части, и на три, и на шесть. Более того, вообще необязательно её делить на равные части. Угол, образованный горизонтальной осевой и линиями AB вообще может быть любым (в пределах чертежа, конечно же).

Обозначим этот угол символом γ. И пусть оси овала (его длина и ширина соответственно) равны a и b.

Тогда универсальные формулы для расчёта параметров овала будет выглядеть так:

R=[(b/2*(sin(γ)-1)+(a/2*cos γ)] / [sin γ + cos (γ)-1]

и

r=[(b/2*cos (γ/2)) - (a/2*sin (γ/2))] / [(cos (γ/2)-sin (γ/2)]

 

Выглядят страшновато? Хм, пожалуй, так и есть. Но зато, применяя эти формулы, мы можем свободно задавать три параметра: длину овала, его ширину и вспомогательный угол γ. А это означает, что мы можем рассчитать овал с любыми заданными габаритными размерами a и b, да ещё и не один. С одними и теми же значениями a и b мы можем получить столько разных овалов, сколько сможем придумать различных значений вспомогательного угла γ, вписывающихся в чертёж.

Поясним на примере. Пусть нам нужно рассчитать овал, оси которого равны 150 и 84 см соответственно (параметры большого овала нашей ванны на 500 л). Из таблицы видно, как будут меняться диаметры D и d, длины большой и малой дуг M и m, а также периметр овала p в зависимости от изменения угла γ.

 

Длина овала, a, см

Ширина овала, b, см

Угол γ,°

Диаметр большой дуги, D, см

Диаметр малой дуги, d, см

Длина большой дуги, M, см

Длина малой дуги, m, см

Периметр овала, p, см

150

84

25

266

65

139,2

68,3

415,0

150

84

26

260

64

136,1

67,2

406,6

150

84

27

255

63

133,2

66,1

398,7

150

84

28

249

62

130,6

65,0

391,1

150

84

29

245

61

128,1

63,9

383,9

150

84

30

240

60

125,7

62,7

376,8

150

84

31

236

59

123,6

61,4

370,0

150

84

32

232

58

121,5

60,2

363,4

150

84

33

228

56

119,6

58,9

356,9

150

84

34

225

55

117,8

57,5

350,6

150

84

35

222

54

116,1

56,1

344,4

 

Все эти овалы будут иметь немного разные контуры, но одни и те же габаритные размеры – 150х84 см.

При этом, задавая значения для большого и малого овалов нашего изделия, мы свободно можем задать одинаковую конусность для большой и малой дуг, что сделает наши овалы как бы равномерно вписанными один в другой, если смотреть на них сверху. У таких изделий разница больших и малых диаметров будет одинакова, а, следовательно, одинаковым будет и коэффициент конусности. Пример такого изделия – наш пуфик, имеющий такие параметры: диаметры больших дуг – 96 и 90 см, диаметры малых дуг – 36 и 30 см, длины большого и малого овалов – 66 и 60 см, а их ширины – 44 и 38 см. Как видите, разница как в диаметрах, так и в габаритных размерах везде равна 6 см. Коэффициент конусности при высоте клёпки в 45 см составляет 0,133. Деревянные обручи по всей поверхности натягиваются на изделие одинаково и надёжно фиксируются на заданной высоте.

Для того, чтобы не нужно было каждый раз проводить сложные расчёты, достаточно один раз забить вышеприведённые формулы в какую-нибудь вычислительную программку. Ниже вы можете скачать документ Excel, в которой вводятся только величины a и b (нужно ввести одинаковые значения во все строки), после чего программа автоматически сгенерирует все необходимые параметры таких овалов при широком спектре угла γ. Только ничего не вводите от руки в другие столбцы, чтобы не заменить формулы числовыми значениями.

Расчёт овалов.xls, 44 kB - скачать

Назад